We continue educating employees on the properly checking of identification cards.

英訳に間違いが有れば正してください。

我々は身分証明書の適切なチェックについて従業員への教育を継続する
We continue educating employees on the properly checking of identification cards.

ヒント
of

答え properlyをproperにする

We continue educating employees on the proper checking of identification cards.

副詞+動名詞+名詞(動名詞の目的語)
ではなく
形容詞+名詞用法ing+of+名詞

身分証明書の適切なチェックという意味なので、
checking of identification(身分証明書のチェック)という名詞句を形容詞proper(適切な)で形容する

副詞のproperlyならcheckingの後に、他動用法なら直接に目的語が必要。

自動詞用法なら前置詞の後に目的語が必要。
自動詞checkの後にofは続かない。
続くのはon, into, for, with
しかし自動詞用法はまれ。

副詞+動名詞+名詞(動名詞の目的語)の例

We need properly checking his background.
我々には彼の経歴の正確なチェック(正確にチェックすること)が必要だ。