He insisted that it should be my fault.

英訳に間違いが有れば正してください。

彼はそれは私の誤りだと言い張った
He insisted that it should be my fault.

ヒント
言い張った

答え
should beをwasにする

He insisted that it was my fault.

He insisted that it should be my fault.
だと
彼はそれは私の誤りにこれから先になるべきだと主張したの意味になってしまう。

They insisted that I (should) change my plan.
彼らは私に計画の変更を申し出た。
これから変更しろの意味で現実の話ではないのでthat節の動詞は原型か前にshould

The doctor insisted that I enter hospital.
これからの入院を薦めているので現実ではない。

She insisted that it was good for her.
彼女のためによかったという現実なので過去形。

起こったことが間違いではなかったなどと主張する場合にはthat節の動詞は過去形